O esconde-esconde das formigas

Enquanto as formigas brincam, os matemáticos também se divertem

Depois de uma aula de Educação Física, algumas bolas de mesmo tamanho ficaram espalhadas em uma quadra de esportes. Notando a ausência de humanos, algumas formiguinhas foram brincar com as bolas. Cada formiga escolheu uma das bolas. A brincadeira era tentar ficar em uma posição de forma que nenhuma outra formiga que estivesse brincando conseguisse ver a outra. Era um esconde-esconde de formigas!

Elas começaram a brincadeira com apenas duas bolas, uma formiga em cada bola.  Assim, cada formiga teria metade de uma bola onde ela poderia ficar sem ser vista, certo? A imagem a seguir é de um drone que filmou as duas bolas e nos ajuda a entender:

Vamos chamar essas partes (em azul na figura) onde as formigas não podem ser vistas, de áreas invisíveis, tudo bem? Então, uma coisa curiosa é que somando as áreas invisíveis, as duas metades, temos uma bola inteira invisível, concorda?

Depois as formigas passaram a brincar com três bolas. E surgiu a pergunta: o que será que acontece com a soma das áreas invisíveis? Será que ela aumenta, diminui ou será fica igual? Olhe esta outra imagem feita pelo drone:

Comparando com o caso das duas bolas, quando acrescentamos a terceira bola (3) há uma perda de área invisível em cada uma das duas bolas (1 e 2) que já estavam na brincadeira (são os pedaços amarelos). Mas, olha que legal: essa perda é compensada de maneira exata pela área invisível da bola 3 que entrou na brincadeira! Juntos, os dois pedaços amarelos têm a mesma área que o pedaço azul na bola 3. Então, a área invisível total não muda (veja outra imagem do nosso drone!). Você concorda?

E com quatro bolas na brincadeira, será que a área invisível total muda? Uma nova imagem do drone pode te ajudar a responder essa questão. Não se assuste com as linhas, apenas tente verificar se os pedaços amarelos nas bolas 2 e 3 tem a mesma área que o pedaço azul da bola 4.

Os matemáticos e os físicos adoram descobrir essas coisas que não variam, como essa área invisível total, eles chamam essas coisas de invariantes, ou seja, nunca mudam! O que é bacana é que elas podem estar tanto em uma brincadeira de formigas como nos mistérios do universo!


Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília

Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 21.06.2019

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