Triângulo tricolor?

Um desafio geométrico para as férias

Nas férias, meu filho e uma amiga estavam de bobeira em casa e decidi propor um desafio a eles. Sendo férias, o prêmio seria um doce! Claro que eles ficaram bem animados. 

O desafio era assim: primeiro, desenhei um triângulo, que subdividi em triângulos menores. Em seguida, escolhi três cores e pintei cada vértice do triângulo original com uma delas. Ficou assim:

Pedi, então, para as crianças pintarem os vértices dos triângulos menores, que estão nos lados do triângulo original, usando apenas as cores dos vértices já pintados nas extremidades desse lado. Por exemplo: o lado maior do triângulo na figura acima tem extremidades verde e vermelha, logo, teriam que colorir os outros vértices nesse lado usando apenas essas duas cores. E fizeram assim:

Para colorir os outros vértices que estão nos lados do triângulo grande, a regra era a mesma, com um pequeno detalhe: era proibido formar um triângulo tricolor, ou seja, com vértices pintados com três cores diferentes. Eles disseram: “Beleza!” E deixaram o triângulo assim:

Aí, eu disse: “Podem colorir o restante dos vértices do jeito que quiserem. Se conseguirem colorir todos sem formar um triângulo tricolor, ganham a aposta”.

Com água na boca, pensando no doce, foram colorindo os vértices sem formar um triângulo tricolor, até que sobrou um pra terminar. Repare:

Gráficos Marina Vasconcelos

Elas perceberam que, colorindo esse vértice com qualquer uma das três cores, formariam um triângulo tricolor. Então, eu disse que poderiam tentar outra vez. Refizeram tudo outra vez e mais outra e mais outra… até que começaram a gritar: “É impossível! É impossível!”.

Você que está acompanhando esta história se anima a reproduzir a figura inicial e tentar? Se fizer isso, não vale ler agora o final deste texto, porque vai perder a graça!

Bem… na verdade, é impossível mesmo. A gente pode começar com qualquer triângulo, subdividir ele formando triângulos menores do jeito que a gente quiser, colorir a borda do triângulo maior, respeitando aquela regrinha, e sempre vai aparecer um triângulo tricolor quando a gente for colorir os outros vértices. Sempre!

Pensei que as crianças ficariam zangadas quando revelei que o desafio era impossível de solucionar, mas elas se divertiram com a pintura e ainda acharam interessante quando contei que foi um matemático alemão chamado Sperner que havia usado a matemática para provar que sempre apareceria um triângulo tricolor. É claro que, pelo espírito esportivo, cada um ganhou um doce!


pedro_roitman
Pedro Roitman,
Instituto de Matemática,
Universidade de Brasília
Sou carioca e nasci no ano do tricampeonato mundial de futebol – para quem é muito jovem, isso aconteceu em 1970, século passado! Enquanto fazia o curso de Física na universidade, fui encantado pela Matemática. Hoje sou professor.

Matéria publicada em 04.07.2023

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