A corrida das formigas

Matemática, pontos e surpresas no caminho!

Duas formigas atrevidas invadiram a minha mesa de trabalho. Fiz aquele movimento de varrê-las com as mãos, mas elas voltaram. Outra vez, eu tentei e elas voltaram. De novo… Mais uma vez… Eu já estava bocejando, quando elas voltaram pela vigésima vez e disseram:

– Você passa um tempão aí pensando, rabiscando… a gente queria entender por que alguns humanos são assim.

Eu, meio desconfiado por estar iniciando uma conversa com formigas, perguntei:

– Assim como?

– Assim, ligados em matemática.

Na minha folha havia um pentágono regular inscrito em um círculo. É mais fácil olhar a figura para entender.

Resolvi surpreender as duas:

– Entrem na folha, vou mostrar uma coisa interessante para vocês.

– Não, obrigada – uma delas disse. – Os humanos costumam ser traiçoeiros com a gente. Você vai nos esmagar.

– De jeito algum – respondi. – Sou fascinado por formigas. Vocês conseguem resolver problemas de maneira eficiente e coletiva. Nós, humanos, temos muito a aprender com vocês.

Elas se entreolharam e subiram na folha. Então, eu falei:

– O que acham de uma corrida? Cada uma de vocês vai sair do mesmo ponto P. Você, menorzinha, vai ter que ir do ponto P ao ponto P1, voltar para o P, ir para o ponto P3, voltar ao P, ir para o ponto P5 e, finalmente, retornar ao ponto P. Entendeu?

– Sim! – ela disse animada.

– E eu, faço a mesma coisa? – quis saber a maiorzinha.

– Não, mas é parecido – expliquei. – Você começa no ponto P e segue para o P2, retorna ao P e segue para o ponto P4. Para terminar, você volta ao P.

As rotas de ida e volta das formigas estão ilustradas na figura abaixo: uma em vermelho, a outra em verde.

– Uhu! Ficou mais fácil para mim! Eu só tenho que ir e voltar passando por dois pontos, o P2 e o P4, e ela tem que ir e voltar passando por três pontos, o P1, P3 e P5 –, comemorou a maior.

E eu retruquei:

– Repare que as distâncias entre os pontos não são todas iguais e pode haver alguma surpresa aí. Ah, só para conferir: vocês correm exatamente com a mesma velocidade?

Elas, já se preparando para a disputa, responderam juntas:

– Sim!

Nesse momento, comecei a despertar. É verdade. Acabei tirando um cochilo, sonhei com esse desafio para as formigas. Mas, antes de abrir os olhos, ainda consegui ver no sonho que elas se amarraram na corrida, repetiram várias vezes, mudando o ponto de partida P. Acordei com a sensação de que elas haviam finalmente entendido por que alguns humanos são tão ligados na matemática.

E agora pergunto a você: quem ganhou a corrida das formigas? Será que a resposta depende do ponto de partida P? Será que pode dar empate?

Sugestão: como as formigas têm velocidades iguais, quem tiver o trajeto mais curto irá ganhar a corrida, certo? Então, você pode desenhar outros pentágonos idênticos ao da figura e tentar medir o comprimento dos trajetos.